Про апроксимативнi розв’язки одного класу крайових задач Дiрiхле для нелiнiйних елiптичних рiвнянь

P. I. Kogut, A. O. Putchenko

Анотація


Дослiджено питання iснування слабких розв’язкiв для одного класу нелiнiйних елiптичних рiвнянь з однорiдними крайовими умовами типу Дiрiхле. Оскiльки розв’язаннiсть таких крайових задач у класичних просторах Соболєва залишається на сьогоднi вiдкритою проблемою, то автори започатковують поняття апроксимативних розв’язкiв та наводять достатнi умови їх iснування. З цiєю метою розглянуто параметризовану сiм’ю фiктивних задач оптимального керування, якi тiсно пов’язанi зi структурою вихiдного елiптичного рiвняння. Показано, що кожна з таких задач має єдиний розв’язок, а їх асимптотична поведiнка дозволяє стверджувати iснування граничних точок, кожна з яких є апроксимацiйним розв’язком вихiдної крайової задачi. Як наслiдок, у роботi отримано достатнi умови розв’язанностi наведеного классу крайових задач та запропоновано процедуру для їх числової апроксимацiї.

Ключові слова


existence result; elliptic equations; fictitious control; perturbation approach

Повний текст:

PDF (English)

Посилання


H. Amann, On the number of solutions of nonlinear equations in ordered Banach spaces, J. Func. Anal., 11 (1972), 346–384.

L. Boccardo and F. Murat, Almost everywhere convergence of the gradients of solutions to elliptic and parabolic equations, Nonlinear Anal., Theory, Methods, Appl., 19 (1992), 581–597.

E. Casas, O. Kavian, J. P. Puel, Optimal control of an ill-posed elliptic semilinear equation with an exponential nonlinearity, ESAIM: Control, Optimization and Calculus of Variations, 3 (1998), 361–380.

S. Chandrasekhar, An Introduction to the Study of Stellar Structures, Dover Publishing Inc., 1985.

M. G. Crandall, P. H. Rabinowitz , Some continuation and variational methods for positive solutions of nonlinear elliptic eigenvalue problems, Arch. Rational Mech. Anal., 58 (1975), 207–218.

R. Ferreira, A. De Pablo, J. L. Vazquez , Classification of blow-up with nonlinear diffusion and localized reaction, J. Differential Equations, 231 (2006), 195-–211.

D. A. Franck–Kamenetskii, Diffusion and Heat Transfer in Chemical Kinetics, Second edition, Plenum Press, 1969.

H. Fujita, On the blowing up of the solutions to the Cauchy problem for ut = u + u1+, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA, Math., 13 (1996), 109–124.

A. V. Fursikov , Optimal Control of Distributed Systems. Theory and Applications, AMS, Providence, RI, 2000.

Th. Gallou¨et, F. Mignot, J. P. Puel, Quelques r´esultats sur le probl`eme

I. M. Gelfand, Some problems in the theory of quasi-linear equations, Uspekhi Mat. Nauk, 14 (86) (1959), 87–158 (in russian); Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2, 29 (1963), 289–292.

J. Jahn, Vector Optimization: Theory, Applications, and Extensions, Springer, Berlin, 2004.

D. Kinderlehrer, G. Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York, 1980.

P. I. Kogut, G. Leugering, Optimal Control Problems for Partial Differential Equations on Reticulated Domains. Approximation and Asymptotic Analysis, Series: Systems and Control, Birkh¨auser Verlag, Boston, 2011.

F. Mignot, J. P. Puel, Sur une classe de probl`emes non lin´eaires avec nonlin´earit´e positive, croissante, convexe, Comm. in PDE, 5 (8) (1980), 791–836.

R. G. Pinsky, Existence and Nonexistence of global solutions ut = u + a(x)up in Rd, J. of Differential Equations, 133 (1997), 152–177.

D. H. Sattinger, Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems, Indiana Univ. Math. J., 21 (1972), 979–1000.




DOI: http://dx.doi.org/10.15421/141603

Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.



Індексування журналу

Журнал розміщено у наукометричних базах, репозитаріях та пошукових системах:

            


Адреса редколегії: 49050, Україна, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, вул. Козакова 18, корп. 14, механіко-математичний факультет, д-р фіз.-мат. наук, проф. Когут П.І. 

email: p.kogut@i.ua

www.kdr.dp.ua

www.dnu.dp.ua


Free counters! Яндекс.Метрика

Лицензия Creative Commons
Це видання має доступ за ліцензією Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.


Open Science in Ukraine - website development